Проверка статистических гипотез. Статистика критерия. Критические области. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости.⚓︎

Х – случайная величина. Относительно распределения Х выдвинута гипотеза. Если гипотеза описывается однозначно, то это простая гипотеза, если гипотеза описывает некий класс распределений, то гипотеза сложная

Для проверке сложной гипотезы Н₀, касающейся распределения Х, по её выборке (${x_1, x_2, \ ... \ x_n}$), также выдвигается альтернативная гипотеза Н₁. И гипотеза Н₀ проверяется против альтернативы Н₁

Статистика критерия – статистика t (${x_1, x_2, \ ... \ x_n}$) (числовая функция от переменных ${x_1, x_2, \ ... \ x_n}$), значения которой ощутимо отличаются в случае, когда верна гипотеза Н₀ , и в случае, когда верна альтернатива Н₁

По основному требованию, предъявляемому к проверке статистических гипотез, решение относительно справедливости Н₀ и Н₁ должно быть вынесено и носить однозначный характер. Поэтому область значения разбивается на А₀ и А₁, которые не пересекаются. Гипотеза Н0 применяется, если t (${x_1, x_2, \ ... \ x_n}$) ϵ А₀ или применяется альтернатива Н₁, если t (${x_1, x_2, \ ... \ x_n}$) ${\in А_ 1}$. А₀ – область принятия гипотезы Н₀, А₁ – критическая область для альтернативы Н₁, и наоборот

Ошибка первого рода – гипотеза Н₀ отклонена, хотя на самом деле верна

Ошибка второго рода – альтернатива Н₁ будет отклонена, хотя на самом деле верна (гипотеза Н₀ принимается, хотя неверна)

Уровень значимости – задаётся положительное число ε близкое к нулю, вероятность ошибки первого рода не превосходит его. При этом вероятность второго рода стараются сделать минимальной. Это соотношение позволяет находить пороговые значения, разделяющие критические области ${А_0}$ и ${А_1}$.

${P_{H0} (t \in A_0) = \varepsilon}$