Центральная предельная теорема⚓︎

Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа, обсуждаемая раннее, интересна тем, что она является частным случаем общей и универсальной центральной предельной теоремы.

Теорема 10.3 (Линдеберг-Леви)⚓︎

Пусть ${\varepsilon_1}$, ${\varepsilon_2}$ — независимые одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием a и дисперсией Q₂

Тогда при ${n \rightarrow ∞}$:

Замечание 10.3⚓︎

Здесь значок N(0; 1) использован для обозначения случайной величины со стандартным нормальным распределением

Доказательство⚓︎

Пусть q(t) — характеристическая функция случайной величины ${\varepsilon_1 - a}$ (а следовательно, ${\varepsilon_2 - a, \varepsilon_3 - a ...}$)

По свойствам характеристической функции:

Итак, характеристическая функция случайной величины ${\frac{S_n - n_a}{q \sqrt{n}}}$ сходится при ${n \rightarrow ∞}$ к характеристической функции стандартного нормального распределения. Отсюда следует утверждение теоремы 10.3

Обозначим ${\Phi(х)}$ функцию распределения случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение, т.е.

Эта функция называется функцией Лапласа. Из математического анализа известно, что функция Лапласа не выражается через элементарные функции, поэтому для нее составлены таблицы. Нетрудно понять, что ${\Phi(х) + \Phi(-х) = 1}$, поэтому таблицы составлены лишь для неотрицательных значений Х.

Если вспомнить определение сходимости по распределению, то ЦПТ означат, что для произвольного Х:

Пример 10.1⚓︎

Стрелок попадает:

• в десятку с вероятностью 0.4
• в девятку с вероятностью 0.3
• в восьмерку с вероятностью 0.2
• в семерку с вероятностью 0.1

Он произвел 25 выстрелов. Найти вероятность того, что суммарное число выбитых очков находится в пределах от 220 до 230,

Пусть ${\varepsilon_1}$ — число очков, выбитых при i-м выстреле. Ясно, что ${\varepsilon_1, \varepsilon_2 ...}$ — независимые случайные величины, причем с одинаковым распределением

В качестве следствия центральной предельной теоремы получим результат, называемый теоремой Муавра-Лапласа

Теорема 10.4⚓︎

Пусть проводятся испытания Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании р, и H_n — число успехов в n испытаниях. Тогда для произвольного х