Закон больших чисел⚓︎

Говорят, что последовательность случайных величин ${\varepsilon_1, \varepsilon_2 ...}$ с конечными первыми моментами удовлетворяет закону больших чисел (ЗБЧ), если

Определение⚓︎

Законами больших чисел принято называть утверждения о том, при каких условиях последовательность случайных величин удовлетворяет закону больших чисел, т.е. обладает свойством.

Выясним сначала, когда выполнен ЗБЧ для последовательности независимых и одинаково распределённых случайных величин.

Теорема Бернулли⚓︎

Пусть событие Α может произойти в любом из n независимых испытаний с одной и той же вероятностью P, и пусть 𝑉𝑛(𝐴) — число осуществлений события A в n испытаниях.

Доказательство. Заметим, что 𝑉𝑛(𝐴) есть сумма независимых, одинаково распределённых случайных величин, имеющих распределение Бернулли с параметром p=P(A) (индикаторов того, что в соответствующем испытании произошло A):

𝑉𝑛(𝐴)=${\varepsilon_1 + ... \varepsilon_n}$, где